Исследование раскрывает существование катастрофы ласточкиного хвоста в неэрмитовых системах
Исследователи из Гонконгского университета науки и технологий, Университета Сянтань и Южного университета науки и технологий недавно обнародовали возможную связь между теорией катастроф, областью математики, которая фокусируется на моделировании внезапных изменений (т.е. катастроф) и неэрмитовой физикой. Их статья, опубликованная в Nature Physics, специально показывает, что структурно богатое вырождение, известное как катастрофа ласточкиного хвоста, может естественным образом существовать в неэрмитовых системах.
«Наша работа была вдохновлена предыдущими исследованиями, в которых использовалась теория гомотопии для классификации топологических особенностей, метод, который использовался для изучения дефектов в жидких кристаллах, таких как дискременты и дислокации», — сказал в интервью LRN4.ru Хунвэй Цзя, один из исследователей, проводивших исследование. «Теория гомотопий также была применена в теории зон для исследования неабелевой топологии зон. Основываясь на этих предыдущих работах, мы стремились расширить подход к пониманию сингулярностей (проявляющихся в виде вырождений, называемых исключительными точками) в неэрмитовых системах».
На рисунке показано важное явление перехода, заключающееся в том, что пара исключительных линий третьего порядка (EL3) может переходить в недефектную линию пересечения (NIL) и узловую линию (NL) через точку встречи (MP). Это связано с тем, что петля lα, опоясывающая двойные EL3, несет тот же топологический инвариант, что и lβ, окружающий NIL и NL вместе. Таким образом, мы можем понять, что переход топологически защищен. Предоставлено: Ху и др.
По сути, Цзя, Чан и их коллеги намеревались применить концепцию вращения собственной векторной системы отсчета вдоль петли, окружающей сингулярность (т. е. точку, в которой функция «прыгает» или «схлопывается»), к неэрмитовым системам. В то время как в других недавних исследованиях эрмитовых систем собственные векторы были действительными и ортогональными, образуя ортонормированный базис евклидова пространства, применение этого поворота системы собственных векторов к неэрмитовым системам создает ряд проблем.
В этих неэрмитовых системах собственные векторы не ортогональны, потому что ортогональное отношение собственных векторов определяется неопределенным внутренним произведением типа Минковского. Таким образом, по замкнутой траектории система собственных векторов не только вращается, но и деформируется. В частности, когда траектория сталкивается с исключительными поверхностями, собственные векторы сливаются», — объяснил Цзя.
«Это создает серьезную проблему, потому что обычные гомотопические петли никогда не пересекают вырождение. Но в нашем случае этого не избежать, потому что рассматриваемые линии вырождения целиком и полностью встроены в исключительные поверхности. В решении этих математически сложных трудностей мы обратились за помощью к математику Ифэй Чжу. Это сотрудничество между физиками и математиками привело к новому пониманию топологических свойств сингулярностей в неэрмитовых системах.
В сотрудничестве с Чжу, Цзя, Чан и их коллеги решили исследовать возникновение вырождений, называемых исключительными поверхностями, изолированными и неизолированными сингулярностями, в неэрмитовых системах, и зависимость этих вырождений от симметрии. Для этого они отслеживали нули в дискриминанте характеристического многочлена гамильтоновых матриц при определенных симметриях в пространстве параметров.
«Мы провели много математических экспериментов, используя различные инструменты, такие как математическое программное обеспечение, бумажные модели и 3D-печать», — сказал Цзя. «Анализируя явные примеры гамильтонианов со специфическими симметриями, мы обнаружили, что возникновение этой особенности сингулярности является универсальным в неэрмитовых системах с выбранными нами симметриями. Мы также продемонстрировали, что могут быть исключительные линии третьего порядка (EL3) на остриях исключительных поверхностей, недефектные линии пересечения (NIL), где исключительные поверхности пересекаются поперечно, и узловые линии (NL), изолированные от исключительных поверхностей».
Эксперименты и расчеты, проведенные Цзя и его коллегами, дали несколько интересных результатов. Во-первых, команда обнаружила, что отдельные линии вырождения, которые они наблюдали, всегда могут быть стабильно соединены в одной точке встречи и что эта уникальная структура защищена симметрией.
На этом рисунке мы можем обнаружить, что это комбинированная структура из четырех ласточкиных хвостов. Такая интересная структура может образоваться потому, что петля, опоясывающая две узловые линии (NL), топологически эквивалентна петле, опоясывающей четыре исключительные линии третьего порядка (EL3). В настоящее время это невозможно продемонстрировать, и для решения этой задачи необходим более мощный математический инструмент. Предоставлено: Ху и др.
«Мы заметили, что исключительные поверхности пересекаются в конфигурации ласточкиного хвоста, что напоминает катастрофу ласточкиного хвоста в математике и теории катастроф (в частности, в классификации ADE)», — сказал Цзя. «Тем не менее, есть заметные различия между нашим случаем и катастрофой ласточкиного хвоста в классификации ADE, поскольку последняя описывается путем изучения локуса множественных корней квартового многочлена, тогда как наш возникает из изучаемых нами симметрий, которые кодируют информацию об эволюции собственных векторов».
Недавняя работа этой группы исследователей устанавливает связь между математической теорией катастроф и неэрмитовой физикой, двумя областями исследований, которые ранее воспринимались как не связанные. Используя гомотопические методы, команда попыталась получить топологическое понимание неизолированных особенностей в неэрмитовых системах.
Цзя и его коллеги в конечном итоге обнародовали несколько интересных новых переходов, которые происходят в структуре «ласточкин хвост» катастрофы, которую они наблюдали.
Катастрофа ласточкиного хвоста, которую Цзя и его коллеги наблюдали в неэрмитовых полосах, представляет собой совершенно новый тип топологической безщелевой фазы. Дальнейшие исследования этой фазы потенциально могут выявить новые физические явления и эффекты. В настоящее время исследователи проводят исследования, посвященные двум интригующим явлениям, первым из которых является соответствие объема и края в этом новом типе безщелевой фазы.
«Мы изучаем, могут ли фазы без зазоров, присущие структуре ласточкиного хвоста, также поддерживать топологические краевые состояния», — сказал Цзя. «Второе явление, которое мы исследуем, — это нетрадиционная дуга Ферми, которая связывает пару исключительных линий третьего порядка на парных куспидах».
В дополнение к информированию о будущих исследованиях в области физики, результаты, собранные этой группой исследователей, могут привести к новым исследованиям в области математики. Цзя и его коллеги считают, что математическая составляющая их работы все еще является ситуативной и неполной, и они планируют развивать ее в своих следующих работах.
«Теоретически, несмотря на то, что объекты исследования уже могут быть сформулированы чисто математически (в классификации ADE), эта формулировка дает только внешне сопоставимую структуру, в то время как основные характеристики сильно отличаются от текущего случая», — пояснил Цзя. «Например, точка встречи ласточкиного хвоста в классификации ADE является исключительной точкой четвертого порядка, но точка нынешнего ласточкиного хвоста представляет собой тройное вырождение, обеспечивающее два линейно независимых собственных состояния.
Подробнее: Jing Hu et al, Non-Hermitian swallowtail catastrophe revealing transitions among diverse topological singularities, Nature Physics (2023).
Нашли ошибку в тексте? Напишите нам.
